expandable Laminate eXplorer - eLamX

h1. Modul Eigenfrequenzanalyse

h2. Allgemein

Mit Hilfe des Eigenfrequenzanalysemoduls von eLamX² ist es möglich die Eigenfrequenzen und Eigenformen einer aus vorgegebenen Laminaten ebene Platten zu berechnen. Die Berechnungen liefern dabei, aufgrund der verwendeten Ansätze, lediglich für symmetrische Laminate korrekte Ergebnisse. Sie beruhen auf dem Prinzip der virtuellen Verrückungen unter Nutzung globaler Ansatzfunktionen mittels eines Ritzansatzes. Zusätzlich ist es möglich die Platte mit Versteifungselementen zu versehen. Basierend auf dem im Hauptmenü von eLamX² festgelegten Laminat wird bei Aufruf des Moduls automatisch die ABD-Matrix des Verbundes berechnet. Innerhalb dieses Vorgangs wird geprüft, ob es sich bei dem übergebenen um ein symmetrisches Laminat handelt. Bei diesen ist die Koppelsteifigkeitsmatrix B mit Nullen besetzt. Ist dies nicht der Fall erfolgt eine Warnmeldung.

Aufgrund der vorausgesetzten Symmetrie des Laminats beruhen die Berechnungen im Eigenfrequenzanalysemoduls von eLamX² ausschließlich auf der Biegesteifigkeitsmatrix D des Verbunds.

Im Gegensatz zu vielen anderen Modulen in eLamX² ist hier die Eingabe einer Dichte aller verwendeter Materialien zur Bestimmung der Trägheiten notwendig.

h2. Aufbau

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Die Eingabe der Modellgrößen erfolgt getrennt für die Platte aus dem definierten Laminat und den zusätzlich aufgebrachten Versteifungselementen.

p=. {{thumbnail(frequenz_eingabe_allgemein.png,size=500, title=Eingabe allgemein)}} {{thumbnail(frequenz_eingabe_versteifungen.png,size=500, title=Eingabe Versteifung)}}

Zunächst wird über die Angabe von Länge und Breite aus dem vorgegebenen Laminat eine ebene Rechteckplatte modelliert. Nachfolgend ist die Angabe der gewünschten Randbedingungen nötig. Standardmäßig ist die allseitig gelenkige Lagerung der Platte voreingestellt. Daneben können über die Betätigung der Dropdownauswahl weitere Randbedingungen ausgewählt werden, welche durch entsprechende Symbole verdeutlicht werden.

* SS - beidseitig gelenkige Lagerung

* CC - beidseitig feste Einspannung

* CF - einseitig feste Einspannung und einseitig freie Lagerung

* FF - beidseitig freie Lagerung

* SC - einseitig gelenkige Lagerung und einseitig feste Einspannung

* SF - einseitig gelenkige Lagerung und einseitig freie Lagerung

Prinzipiell ist jede Kombination von Randbedingungen mit dem Stabilitätsmodul von eLamX² berechenbar. Des Weiteren sind die Membranschnittlasten auf die Platte in Form von biaxialem Druck und Schub vorzugeben. Vereinbarungsgemäß sind positive Lasten im Stabilitätsmodul von eLamX² als Zug- und negative aufgebrachte Belastungen als Drucklasten definiert. Die Definition der kritischen Beullast erfolgt über das Vorzeichen des berechneten Eigenwerts. Die anzugebende Termanzahl bezieht sich auf den verwendeten Ritzansatz. Zur Gewährleistung einer ausreichenden Rechengenauigkeit sollte sie nicht zu gering gewählt werden, beeinflusst jedoch für höhere Werte maßgeblich die Rechenzeit. Über die eingestellte Termanzahl ist zusätzlich die Anzahl der berechneten Eigenwerte und -formen gekoppelt. Die Anzahl der verwendeten Terme sollte so gewählt werden, dass diese größer ist als der größere Wert des Seitenverhältnis Länge/Breite bzw. Breite/Länge.

Zur Gewährleistung geschlossen-analytischer Lösungen wird in vielen Berechnungsmethoden und der Literatur von orthotropem oder quasiorthotropem Materialverhalten ausgegangen. In diesen Methoden wird somit der Einfluss der Biege-Drill-Kopplung durch die Terme $D_{16}$ und $D_{26}$ der Biegesteifigkeitsmatrix $\mathbf{D}$ nicht beachtet. Um die Ergebnisse von eLamX² mit denen der einschlägigen Literatur vergleichbar zu machen, existiert über eine Checkbox die Option die genannten Anteile auch in eLamX² zu vernachlässigen. Dadurch ergibt sich auch die Möglichkeit einer Abschätzung des Einfluss der anisotropen Eigenschaften eines Laminats und eine Aussage über die Sinnhaftigkeit der Vernachlässigung der genannten Terme.

Zur Erhöhung der Beullasten der Platte kann diese mit Versteifungselementen versehen werden. Diese werden als eindimensionale isotrope Bernoulli-Balken modelliert, berücksichtigen demnach Biege- und Torsionssteifigkeit. Der abstützende Einfluss eventueller Stringerflansche wird nicht berücksichtigt. Die Schwerpunkte der Stringerquerschnitte befinden sich nach der verwendeten Modellvorstellung in der Mittel- beziehungsweise Symmetrieebene der Platte. Es wird davon ausgegangen, dass es nicht vor dem Stabilitätsversagen der Platte zum lokalen Beulen der Stringersegmente kommt.