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Modul Eigenfrequenzanalyse

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Mit Hilfe des Eigenfrequenzanalysemoduls von eLamX² ist es möglich die Eigenfrequenzen und Eigenformen einer aus vorgegebenen Laminaten ebene Platten zu berechnen ([1], [2], [3]). Die Berechnungen liefern dabei, aufgrund der verwendeten Ansätze, lediglich für symmetrische Laminate korrekte Ergebnisse. Sie beruhen auf dem Prinzip der virtuellen Verrückungen unter Nutzung globaler Ansatzfunktionen mittels eines Ritzansatzes. Zusätzlich ist es möglich die Platte mit Versteifungselementen zu versehen. Basierend auf dem im Hauptmenü von eLamX² festgelegten Laminat wird bei Aufruf des Moduls automatisch die ABD-Matrix des Verbundes berechnet. Innerhalb dieses Vorgangs wird geprüft, ob es sich bei dem übergebenen um ein symmetrisches Laminat handelt. Bei diesen ist die Koppelsteifigkeitsmatrix $\mathbf{B}$ mit Nullen besetzt. Ist dies nicht der Fall erfolgt eine Warnmeldung.

Aufgrund der vorausgesetzten Symmetrie des Laminats beruhen die Berechnungen im Eigenfrequenzanalysemoduls von eLamX² ausschließlich auf der Biegesteifigkeitsmatrix $\mathbf{D}$ des Verbunds.

Im Gegensatz zu vielen anderen Modulen in eLamX² ist hier die Eingabe einer Dichte aller verwendeter Materialien zur Bestimmung der Trägheiten notwendig.

Aufbau

frequenz.png

Die Eingabe der Modellgrößen erfolgt getrennt für die Platte aus dem definierten Laminat und den zusätzlich aufgebrachten Versteifungselementen. Sie entspricht im Wesentlichen, denen des Stabilitätsmoduls und des Deformationsmoduls.

frequenz_eingabe_allgemein.png frequenz_eingabe_versteifungen.png

Zunächst wird über die Angabe von Länge und Breite aus dem vorgegebenen Laminat eine ebene Rechteckplatte modelliert. Nachfolgend ist die Angabe der gewünschten Randbedingungen nötig. Standardmäßig ist die allseitig gelenkige Lagerung der Platte voreingestellt. Daneben können über die Betätigung der Dropdownauswahl weitere Randbedingungen ausgewählt werden, welche durch entsprechende Symbole verdeutlicht werden.

  • SS - beidseitig gelenkige Lagerung
  • CC - beidseitig feste Einspannung
  • CF - einseitig feste Einspannung und einseitig freie Lagerung
  • FF - beidseitig freie Lagerung
  • SC - einseitig gelenkige Lagerung und einseitig feste Einspannung
  • SF - einseitig gelenkige Lagerung und einseitig freie Lagerung

Prinzipiell ist jede Kombination von Randbedingungen mit dem Stabilitätsmodul von eLamX² berechenbar. Die anzugebende Termanzahl bezieht sich auf den verwendeten Ritzansatz. Zur Gewährleistung einer ausreichenden Rechengenauigkeit sollte sie nicht zu gering gewählt werden, beeinflusst jedoch für höhere Werte maßgeblich die Rechenzeit. Über die eingestellte Termanzahl ist zusätzlich die Anzahl der berechneten Eigenfrequenzen und -formen gekoppelt. Die Anzahl der verwendeten Terme sollte so gewählt werden, dass diese größer ist als der größere Wert des Seitenverhältnis Länge/Breite bzw. Breite/Länge.

Zur Gewährleistung geschlossen-analytischer Lösungen wird in vielen Berechnungsmethoden und der Literatur von orthotropem oder quasiorthotropem Materialverhalten ausgegangen. In diesen Methoden wird somit der Einfluss der Biege-Drill-Kopplung durch die Terme $D_{16}$ und $D_{26}$ der Biegesteifigkeitsmatrix $\mathbf{D}$ nicht beachtet. Um die Ergebnisse von eLamX² mit denen der einschlägigen Literatur vergleichbar zu machen, existiert über eine Checkbox die Option die genannten Anteile auch in eLamX² zu vernachlässigen. Dadurch ergibt sich auch die Möglichkeit einer Abschätzung des Einfluss der anisotropen Eigenschaften eines Laminats und eine Aussage über die Sinnhaftigkeit der Vernachlässigung der genannten Terme.

Die Platte kann diese mit Versteifungselementen versehen werden. Diese werden als eindimensionale isotrope Bernoulli-Balken modelliert, berücksichtigen demnach Biege- und Torsionssteifigkeit. Der abstützende Einfluss eventueller Stringerflansche wird nicht berücksichtigt. Die Schwerpunkte der Stringerquerschnitte befinden sich nach der verwendeten Modellvorstellung in der Mittel- beziehungsweise Symmetrieebene der Platte.

2 - Button Berechnen

Die Betätigung des Buttons Berechnen liefert die Eigenfrequenzen und Eigenformen des Modells.

Im Falle eines unsymmetrischen Laminataufbaus wird folgenden Warnmeldung angezeigt.

Trotz der Warnmeldung kann auch bei unsymmetrischen Laminaten das Stabilitätsmodul von eLamX² aufgerufen werden. Die Kontrolle der Sinnhaftigkeit der Ergebnisse obliegt in diesem Fall dem Nutzer. Das grafische Nutzer Interface hat das nachfolgend dargestellte Aussehen.

Zudem wird eine Warnung angezeigt, wenn für eines der verwendeten Materialien die Dichte nicht größer als 0.0 ist.

3 - Ergebnisausgabe

Ergebnis der Berechnungen mit dem Eigenfrequenzanalysemoduls von eLamX² sind Eigenfrequenzen und Eigenvektoren. Zunächst erfolgt die Ausgabe der kleinsten Eigenfrequenz der betrachteten Platte.

Neben der Angabe der kleinsten Eigenfrequenz erfolgt die sortierte Ausgabe aller berechneten Eigenfrequenzen der Platte. Über die dargestellte Combobox wird die grafische Ausgabe der zugehörigen Eigenform gesteuert.

Zusätzlich ist die Angabe zur Skalierung der resultierenden Durchbiegung der Eigenformen in deren grafischer Ausgabe möglich. Standardmäßig beträgt dieser Wert eins. Dies entspricht der Normierung der Durchbiegung auf den maximal in der Platte auftretenden Wert.

Zusätzlich ist es möglich die Eigenform zu animieren und das Schwingungsverhalten visuell darzustellen.

4 - grafische Eigenformausgabe

Neben der zahlenmäßigen Ausgabe der Eigenfrequenzen wird die resultierende Eigenform für die gewählte Eigenfrequenz grafisch wiedergegeben.

Die Darstellung erfolgt dreidimensional entsprechend des dargestellten kartesischen Koordinatensystems. Hierbei bezeichnen x und y die Achsen der Plattenebene. Die z-Achse zeigt in Dickenrichtung des Laminats. Die Versteifungselemente werden grau angezeigt. Die Versteifungen sind in der grafischen Ausgabe so positioniert, wie es der Modellvorstellung entspricht. Ihr Schwerpunkt liegt in der Plattenmittelebene. Das Modell kann mit Hilfe der gedrückten Maustasten in jede Position verschoben, gedreht und gezoomt werden.

- Drehen

- Zoomen

- Verschieben

5 - Ansichtsoptionen

Über diese Buttons kann die Ansicht der Eigenformen der Rechteckplatte bearbeitet werden. So ist es mittels der oberen drei Buttons möglich die drei Ebenen des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems anzuzeigen. Zusätzlich sind eine isometrische Darstellung und eine Anpassung der Darstellung der Beulformen an die vorhandene Fenstergröße möglich.

- Blick auf die x-y-Ebene
- Blick auf die x-z-Ebene
- Blick auf die y-z-Ebene
- Isometrische Darstellung
- Anpassung an Fenstergröße
- Einblenden der Legende bzw. Informationsbox

Definition von Versteifungselementen

versteifungsassistent1.png

Zur Definition von Versteifungselementen wird der Versteifungsassistent verwendet. Zunächst muss ausgewählt werden, was für einen Querschnitt die Versteifung haben soll. Hierfür stehen folgende Querschnitte zur Verfügung:

- Freier Versteifungsquerschnitt durch die Definition von des Elastizitätsmoduls E, des Flächenträgheitsmoments zweiter Ordnung I, Schubmoduls G und Torsionsflächenmoment J

- I-Querschnitt definiert durch Höhe, Breite, Elastizitätsmoduls E und Schubmoduls G

- T-Querschnitt definiert durch Fußhöhe, Fußbreite, Steghöhe, Stegbreite, Elastizitätsmoduls E und Schubmoduls G

Die weitere Modellierung der Versteifungselemente ist abhängig von jeweiligen Typ.

versteifungsassistent2.png

versteifungsassistent3.png

Generell muss die Richtung der Versteifung angegeben werden. Die Orientierung gibt dabei an, zu welcher Achse der Platte das Versteifungselement parallel verlaufen soll. Neben den mechanischen bzw. geometrischen Kennwerten der Versteifungselemente ist zusätzlich deren Position anzugeben. Diese Größe ist absolut und somit nicht mit der Größe der Platte gekoppelt. Sie beziehen sich auf das, in der 3D-Ansicht dargestellte Koordinatensystem. Werden die Abmessungen der Platte geändert, so bleibt die Position der Versteifungselemente konstant. Es sind nur Anordnungen von Versteifungselementen innerhalb der Plattengeometrie sinnvoll. Werden dennoch Stringer außerhalb der Plattengrenzen definiert, so werden diese zwar zunächst in der Tabelle der Versteifungselemente und in der 3D-Ansicht angezeigt, während der Berechnung aber nicht berücksichtigt.

Eine nachträgliche Änderung der Position, Richtung oder der eingegebenen Daten ist innerhalb der Tabellendarstellung oder des Eigenschaftsfensters im Hauptfenster möglich. Über einen Rechtsklick auf die Versteifung kann diese bearbeitet, kopiert oder gelöscht werden.

Soll eine Versteifung ohne Torsionssteifigkeit modelliert werden, erfolgt dies, indem G, J oder beide zu Null gesetzt werden. Jedes Versteifungselement kann unterschiedliche Material- und Geometriekennwerte besitzen.

[1] J.N. Reddy.
Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells- Theory and Analysis.
CRC Press, Boca Raton, 2. auflage edition, 2003.
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[2] A. Dorl.
Entwicklung eines Moduls zur Berechnung der Eigenfrequenzen von Faserverbundplatten und-schalen für das Programm eLamX.
ILR-LFT G 12-12, Technische Universität Dresden, April 2013.
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[3] A. Hauffe.
Neue Methode zur schnellen Beulberechnung von geschichteten Platten.
ILR-LFT 09-13IR, Technische Universität Dresden, July 2009.
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