expandable Laminate eXplorer - eLamX

h1. Modul zur Berechnung von zylinderförmigen Drucktanks

h2. Allgemein

Das Modul zur Berechnung von zylinderförmigen Drucktanks dient zur Abschätzung der Festigkeit oder Optimierung des Lagenaufbaus von kreiszylinderförmigen Mantelflächen, die in axialer und radialer Richtung infolge eines Innendruck belastet werden. Für die Berechnung muss der gewünschte Druck und der Radius des Kreiszylinders vorgegeben werden. Beim Radius kann es sich um den Innen-, Außenradius oder den mittleren Radius handeln.

h2. Theorie

Alle Berechnung basieren auf der klassischen Laminattheorie und der Kesselformel. Zur Berechnung der Lasten werden folgende Gleichungen verwendet $$n_x = \frac{p \bar r}{2} \\ n_y = p \bar r \\ n_{xy} = 0 \ .$$

Der dafür notwendige mittlere kann aus aus dem vorgegebenen Radius und der Dicke des zu betrachtenden Laminats bestimmt werden. Wenn beispielsweise der Außenradius $r_a$ vorgegeben ist berechnet sich der mittlere Radius mittels der Laminatdicke $t_{Laminat}$ durch

$$\bar r = r_a - \frac{t_{Laminat}}{2} \ .$$

Für die Berechnung mittels Klassischer Laminattheorie werden die Krümmungen aufgrund der Rotationssymmetrie zu null gesetzt

$$\kappa_{x} = \kappa_{y} = \kappa_{xy} = 0 \ .$$

Somit werden die Dehnungen $\epsilon_x$, $\epsilon_y$ und $\epsilon_{xy}$ und die Momentenflüsse $m_x$, $m_y$ und $m_{xy}$ der Laminatmittelfläche berechnet.

\begin{equation}

 \left(

  \begin{array}{c}

     n_x \\

     n_y \\

     0 \\

     m_x \\

     m_y \\

     m_{xy} \\

  \end{array}

 \right) =

 \left[

  \begin{array}{ccc}

     A_{11} & A_{12} & A_{13} & B_{11} & B_{12} & B_{13} \\

     A_{21} & A_{22} & A_{23} & B_{21} & B_{22} & B_{23} \\

     A_{31} & A_{32} & A_{33} & B_{31} & B_{32} & B_{33} \\

     B_{11} & B_{12} & B_{13} & D_{11} & D_{12} & D_{13} \\

     B_{21} & B_{22} & B_{23} & D_{21} & D_{22} & D_{23} \\

     B_{31} & B_{32} & B_{33} & D_{31} & D_{32} & D_{33} \\

  \end{array}

 \right]

 \left(

  \begin{array}{c}

     \epsilon_{x} \\

     \epsilon_{y} \\

     \gamma_{xy} \\

     0 \\

     0 \\

     0

  \end{array}

 \right) \ .

\end{equation}

!zylinderf%C3%B6rmigen_Drucktanks.png!

Zur Berechnung der Lagendehnungen wird eine Korrektur zur Berechnung der Dehnung in Umfangsrichtung vorgenommen, sodass auch kleine Verhältnisse von Radius zu Laminatdicke berücksichtigt werden können.

\begin{align}

  w & = \epsilon_y \bar r \\

  \epsilon^*_y & = \frac{w}{\bar r + z}

\end{align}

Zu Beachten ist, dass die $ABD$-Matrix des ebenen Laminats verwendet wird. Dadurch wird ein höherer Anteil außenliegender Lagen eines gekrümmten Laminates an der Gesamtsteifigkeit in axialer Richtung nicht berücksichtigt.