expandable Laminate eXplorer - eLamX

h1. Modul Stabilität

h2. Allgemein

Mit Hilfe des Stabilitätsmoduls von eLamX² ist es möglich aus vorgegebenen Laminaten ebene Platten zu modellieren und diese mittels der Methode des "linearized prebuckling" auf ihre Eigenwerte und Eigenformen des Beulens zu untersuchen. Die Berechnungen liefern dabei, aufgrund der verwendeten Ansätze, lediglich für symmetrische Laminate korrekte Ergebnisse. Sie beruhen auf dem Prinzip der virtuellen Verrückungen unter Nutzung globaler Ansatzfunktionen mittels eines Ritzansatzes. Zusätzlich ist es möglich die Platte mit Versteifungselementen zu versehen. Basierend auf dem im Hauptmenü von eLamX festgelegten Laminat wird bei Aufruf des Stabilitätsmoduls automatisch die ABD-Matrix des Verbundes berechnet. Innerhalb dieses Vorgangs wird geprüft, ob es sich bei dem übergebenen um ein symmetrisches Laminat handelt. Bei diesen ist die Koppelsteifigkeitsmatrix B mit Nullen besetzt. Ist dies nicht der Fall erfolgt eine Warnmeldung.

Trotz der Warnmeldung kann auch bei unsymmetrischen Laminaten das Stabilitätsmodul von eLamX aufgerufen werden. Die Kontrolle der Sinnhaftigkeit der Ergebnisse obliegt in diesem Fall dem Nutzer. Das grafische Nutzer Interface hat das nachfolgend dargestellte Aussehen.

Aufgrund der vorausgesetzten Symmetrie des Laminats beruhen die Berechnungen im Stabilitätsmodul von eLamX ausschließlich auf der Biegesteifigkeitsmatrix $\mathbf{D}$ des Verbunds.

h2. Aufbau

p=. {{thumbnail(stabilitaet.png,size=500, title=Modul Stabilität)}}

h3. 1 - Eingabegrößen

Die Eingabe der Modellgrößen erfolgt getrennt für die Platte aus dem definierten Laminat und den zusätzlich aufgebrachten Versteifungselementen.

p=. {{thumbnail(stabilitaet_eingabe_allgemein.png,size=500, title=Eingabe allgemein)}} {{thumbnail(stabilitaet_eingabe_versteifung.png,size=500, title=Eingabe Versteifung)}}

Zunächst wird über die Angabe von Länge und Breite aus dem vorgegebenen Laminat eine ebene Rechteckplatte modelliert. Nachfolgend ist die Angabe der gewünschten Randbedingungen nötig. Standardmäßig ist die allseitig gelenkige Lagerung der Platte voreingestellt. Daneben können über die Betätigung der Dropdownauswahl weitere Randbedingungen ausgewählt werden, welche durch entsprechende Symbole verdeutlicht werden.

* SS - beidseitig gelenkige Lagerung

* CC - beidseitig feste Einspannung

* CF - einseitig feste Einspannung und einseitig freie Lagerung

* FF - beidseitig freie Lagerung

* SC - einseitig gelenkige Lagerung und einseitig feste Einspannung

* SF - einseitig gelenkige Lagerung und einseitig freie Lagerung

Prinzipiell ist jede Kombination von Randbedingungen mit dem Stabilitätsmodul von eLamX² berechenbar. Des Weiteren sind die Membranschnittlasten auf die Platte in Form von biaxialem Druck und Schub vorzugeben. Vereinbarungsgemäß sind positive Lasten im Stabilitätsmodul von eLamX² als Zug- und negative aufgebrachte Belastungen als Drucklasten definiert. Die Definition der kritischen Beullast erfolgt über das Vorzeichen des berechneten Eigenwerts. Die anzugebende Termanzahl bezieht sich auf den verwendeten Ritzansatz. Zur Gewährleistung einer ausreichenden Rechengenauigkeit sollte sie nicht zu gering gewählt werden, beeinflusst jedoch für höhere Werte maßgeblich die Rechenzeit. Über die eingestellte Termanzahl ist zusätzlich die Anzahl der berechneten Eigenwerte und -formen gekoppelt. Die Anzahl der verwendeten Terme sollte so gewählt werden, dass diese größer ist als der größere Wert des Seitenverhältnis Länge/Breite bzw. Breite/Länge.

Zur Gewährleistung geschlossen-analytischer Lösungen wird in vielen Berechnungsmethoden und der Literatur von orthotropem oder quasiorthotropem Materialverhalten ausgegangen. In diesen Methoden wird somit der Einfluss der Biege-Drill-Kopplung durch die Terme $D_{16}$ und $D_{26}$ der Biegesteifigkeitsmatrix $\mathbf{D}$ nicht beachtet. Um die Ergebnisse von eLamX² mit denen der einschlägigen Literatur vergleichbar zu machen, existiert über eine Checkbox die Option die genannten Anteile auch in eLamX² zu vernachlässigen. Dadurch ergibt sich auch die Möglichkeit einer Abschätzung des Einfluss der anisotropen Eigenschaften eines Laminats und eine Aussage über die Sinnhaftigkeit der Vernachlässigung der genannten Terme.

Zur Erhöhung der Beullasten der Platte kann diese mit Versteifungselementen versehen werden. Diese werden als eindimensionale isotrope Bernoulli-Balken modelliert, berücksichtigen demnach Biege- und Torsionssteifigkeit. Der abstützende Einfluss eventueller Stringerflansche wird nicht berücksichtigt. Die Schwerpunkte der Stringerquerschnitte befinden sich nach der verwendeten Modellvorstellung in der Mittel- beziehungsweise Symmetrieebene der Platte. Es wird davon ausgegangen, dass es nicht vor dem Stabilitätsversagen der Platte zum lokalen Beulen der Stringersegmente kommt.

h3. 2 - Button Berechnen

Die Betätigung des Buttons Berechnen liefert die Eigenwerte und Eigenformen des Modells.

h3. 3 - Ergebnisausgabe

Ergebnis der Berechnungen mit dem Stabilitätsmodul von eLamX² sind Eigenwerte und Eigenvektoren. Zunächst erfolgt die Ausgabe des kritischen Lastvektors des Beulens der betrachteten Platte. Die kritischen Beullasten ergeben sich als Produkt der aufgebrachten Lasten und dem kleinsten positiven Eigenwert des linearisierten Beulproblems.

Ist keiner der berechneten Beulwerte positiv, so bezeichnet der betragsmäßig kleinste Wert den kritischen Eigenwert. Dieses Verhalten tritt beispielsweise auf, wenn die Platte mit reinem axialen Zug belastet wird.

Neben der Angabe der kritischen Beullasten erfolgt die betragsmäßig sortierte Ausgabe aller berechneten Eigenwerte des Stabilitätsproblems. Über die dargestellte Combobox wird die grafische Ausgabe der zugehörigen Eigenform des Beulens gesteuert.

Zusätzlich ist die Angabe zur Skalierung der resultierenden Durchbiegung der Eigenformen in deren grafischer Ausgabe möglich. Standardmäßig beträgt dieser Wert eins. Dies entspricht der Normierung der Durchbiegung auf den maximal in der Platte auftretenden Wert.

h3. 4 - grafische Eigenformausgabe

Neben der zahlenmäßigen Ausgabe der Eigenwerte wird die resultierende Eigenform für den gewählten Eigenwert grafisch wiedergegeben.

Die Darstellung erfolgt dreidimensional entsprechend des dargestellten kartesischen Koordinatensystems. Hierbei bezeichnen x und y die Achsen der Plattenebene. Die z-Achse zeigt in Dickenrichtung des Laminats. Die Versteifungselemente werden grau angezeigt, da davon ausgegangen wird, dass es vor dem Stabilitätsversagen der Platte nicht zum Beulen der Stringersegmente kommt. Die Versteifungen sind in der grafischen Ausgabe so positioniert, wie es der Modellvorstellung entspricht. Ihr Schwerpunkt liegt in der Plattenmittelebene. Das Modell kann mit Hilfe der gedrückten Maustasten in jede Position verschoben, gedreht und gezoomt werden.

!maus_links.png! - Drehen

!maus_rechts.png! - Zoomen

!maus_mitte.png! - Verschieben

h2. Definition von Versteifungselementen

Als Eingabedaten zur Aufbringung eines Versteifungselements werden dessen Elastizitätsmodul E , Flächenträgheitsmoment zweiter Ordnung I , Schubmodul G und Torsionsflächenmoment J benötigt. Zusätzlich kann die Richtung der Versteifung angegeben werden. Die Orientierung gibt dabei an, zu welcher Achse der Platte das Versteifungselement parallel verlaufen soll.