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Modul Berechnung » Historie » Version 23

Andreas Hauffe, 05.12.2018 11:15

1 1 Andreas Hauffe
h1. Modul Berechnung
2
3 17 Andreas Hauffe
h2. Allgemein
4 10 Andreas Hauffe
5 17 Andreas Hauffe
Das Modul Berechnung dient zur Kalkulation von Schnittlasten beziehungsweise Dehnungen, sowie Spannungen innerhalb des festgelegten Faserverbundlaminats nach der klassischen Laminattheorie (!cite{Redd2003}, !cite{Schu2004}). Um die Auswirkungen des Laminataufbaus auf die Besetzung der Steifigkeitsmatrix des Verbundes, die Schnittlasten beziehungsweise Dehnungen und die Beanspruchungen der Schichten direkt betrachten zu können, erfolgt die Aktualisierung der Berechnungen automatisch. Unter anderem können dabei auch hygrothermale Effekte berücksichtigt werden !cite{Barth2009}.
6 1 Andreas Hauffe
7 17 Andreas Hauffe
Während einer Berechnung wird das weiter unten aufgeführte lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß’schen Eliminationsverfahrens gelöst. Die berechneten Unbekannten werden in die Felder der Schnittlasten und Verzerrungen eingetragen. Zudem werden die Spannungen und Dehnungen in jeder Laminatschicht berechnet. Diese können im Unterfenster Schichtgrößen im lokalen Faserkoordinatensystem betrachtet werden.
8 16 Andreas Hauffe
9 17 Andreas Hauffe
h2. Aufbau
10
11 20 Andreas Hauffe
p=. {{thumbnail(berechnung.png, size=500, title=Berechnungsfenster)}}
12 11 Andreas Hauffe
13 4 Andreas Hauffe
h3. 1 - ABD-Matrix
14 3 Andreas Hauffe
15 7 Andreas Hauffe
Auf Basis der Steifigkeitsmatrizen der Einzelschichten werden auf Grundlage der klassischen Laminattheorie die Membransteifigkeitsmatrix $\mathbf{A}$, Koppelsteifigkeitsmatrix $\mathbf{B}$ und Biegesteifigkeitsmatrix $\mathbf{D}$ des Verbundes bei Aufruf des Moduls Berechnung automatisch berechnet und farblich getrennt innerhalb der ABD-Matrix dargestellt.
16 5 Andreas Hauffe
17
h3. 2 - Schnittlasten, Verzerrungen und hygrothermale Belastungen
18
19
Als Belastungen auf den definierten Verbund können sowohl Membranschnittlasten und -momente, als auch Dehnungen und Krümmungen vorgegeben werden. Dabei kann pro Koordinatenrichtung jeweils entweder die Angabe der Belastung oder der Verzerrung in den Eingabefeldern unter 2a und 2b erfolgen. Zusätzlich können eine Temperaturdifferenz und die prozentuale Veränderung der relativen Feuchte in den Feldern in Fensterausschnitt 2c angegeben werden. Nach der klassischen Laminattheorie gilt für mechanische und hygrothermale Belastungen und Verzerrungen
20 1 Andreas Hauffe
21
$$\begin{pmatrix}\underline{n}\\ \underline{m}\end{pmatrix}_{mech} = \begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{B}\\ \mathbf{B} & \mathbf{D}\end{bmatrix} \begin{pmatrix}\underline{\varepsilon}\\ \underline{\kappa}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\underline{n}\\ \underline{m}\end{pmatrix}_{hygrotherm}$$
22 7 Andreas Hauffe
23
Sollen keine Effekte der hygrothermalen Belastungen betrachtet werden, so sind die Felder der Temperaturdifferenz und des prozentualen Feuchteunterschieds mit den Werten Null zu füllen. Diese Betrachtung ist die Standardeinstellung im Modul Berechnung von eLamX².
24
25
h3. 3 - hygrothermale Schnittlasten
26
27 15 Andreas Hauffe
An dieser Stelle erfolgt die Ausgabe der entstehenden hygrothermalen Schnittlasten aufgrund der vorgegebenen Temperaturdifferenz und des prozentualen Feuchteunterschieds auf das Gesamtlaminat. Sie sind keine Eingabedaten. Die Anwahl der Auswahlkästchen für mechanische Belastungen und die resultierenden Verzerrungen hat keinen Einfluss auf die hygrothermalen Schnittlasten. Sie ergeben sich aus den richtungsabhängigen Wärmeleit- und Quellungskoeffizienten der Einzelschichten sowie deren Steifigkeitsmatrizen und dem vorgegebenen Temperatur- und Feuchteunterschied.
28 7 Andreas Hauffe
29
h3. 4 - Button Spannungs- und Dehnungsverteilung
30
31
Über diesen Button können die Spannungs- und die Dehnungsverteilung innerhalb des Laminats in lokalen und globalen Koordinaten für die Koordinatenachsen der Laminatebene dargestellt werden. Die Ausgabe erfolgt lediglich qualitativ. Die angegebenen Koordinatenrichtungen beziehen sich auf die Faserwinkel, wobei der angegebene x-Wert die Größe in 0°-Richtung und der y-Wert die Größe in 90°-Richtung des Laminats widerspiegeln. Die Faserorientierungen der einzelnen Lagen sind durch die abgebildete Schraffur dargestellt. Horizontale Linien entsprechen dabei null Grad und vertikale Linien 90 Grad Faserwinkel. Liegen die Faserwinkel benachbarter Schichten sehr nah beieinander, erfolgt die Ausgabe der Schraffur in unterschiedlichen Farben.
32
33 8 Andreas Hauffe
p=. {{thumbnail(spannungsverteilung.png, size=500, title=Aufruf 3D-Versagenskörper der Einzelschicht)}}
34
35 7 Andreas Hauffe
h3. 5 - Button Löschen
36
37
Die Betätigung des Buttons löscht die vorgegeben Lasten und die berechneten unbekannten Schnittlasten und Verzerrungen, sowie die berechnete Spannungsverteilung.
38
39 9 Andreas Hauffe
h3. 6 - Darstellung der Dehnungen und Krümmungen anhand einer quadratischen Platte
40
41
Mit diesem Button kann ein Fenster geöffnet werden, in dem die berechneten Dehnungen und Krümmungen an einer quadratischen Platte visualisiert werden. Dies dient dem besseren Verständnis gerade der Koppeleffekte innerhalb der ABD-Matrix.
42
43
p=. {{thumbnail(darstellung_eps_kappa.png, size=500, title=Aufruf 3D-Versagenskörper der Einzelschicht)}}
44
45 7 Andreas Hauffe
h3. 7 - Schichtgrößen im lokalen Faserkoordinatensystem
46
47
Nach einer Berechnung werden in diesem Teil des Fensters je nach Auswahl die Spannungen oder Dehnungen jeder Schicht des Verbundes berechnet. Die Auswertung erfolgt dabei jeweils an der Ober- und Unterseite der einzelnen Lage. Die Spannungen in jeder Schicht werden mit deren Festigkeiten verglichen und mittels des gewählten Versagenskriteriums ein Reservefaktor an Ober- und Unterseite der Schicht errechnet. Zusätzlich erfolgt die Angabe der zu erwartenden Versagensart hinsichtlich des gewählten Versagenskriteriums einer jeden Schicht.
48
49 1 Andreas Hauffe
p=. {{thumbnail(aufruf_3d-versagenskoerper_einzelschicht.png, size=500, title=Aufruf 3D-Versagenskörper der Einzelschicht)}}
50 7 Andreas Hauffe
51 8 Andreas Hauffe
Neben der Darstellung der Versagenskriterien über die Reservefaktoren lässt mit einem Rechtsklick auf eine Lage zusätzlich das Modul Versagenskriterien aufrufen und der Versagenskörper der einzelnen Schicht zusammen mit dem Spannungszustand im Spannungsraum darstellen (siehe Abbildung). Darin wird die aktuelle Beanspruchung der Verbundschicht als roter Punkt eingetragen. Liegt der berechnete Spannungsvektor innerhalb der ausgewählten Versagenskörper ist nur dessen Linie sichtbar. Damit wird sichtbar gemacht, welche Spannungskombination in jeder Schicht herrscht.
52 12 Andreas Hauffe
53
h2. Laminatinformationen/Ingenieurskonstanten
54
55
p=. {{thumbnail(laminatinformationen.png, size=500, title=Aufruf 3D-Versagenskörper der Einzelschicht)}}
56 13 Andreas Hauffe
57
Diese Fenster kann durch einen Rechtsklick auf ein Laminat und anschließende Auswahl von Ingenieurskonstanten geöffnet werden.
58
59
h3. 1 - ABD-Matrix
60
61
Auf Basis der Steifigkeitsmatrizen der Einzelschichten werden auf Grundlage der klassischen Laminattheorie die Membransteifigkeitsmatrix $\mathbf{A}$, Koppelsteifigkeitsmatrix $\mathbf{B}$ und Biegesteifigkeitsmatrix $\mathbf{D}$ des Verbundes bei Aufruf des Moduls Berechnung automatisch berechnet und farblich getrennt innerhalb der ABD-Matrix dargestellt. Diese Matrix ist in Form einer Tabelle dargestellt, sodass alle Werte herauskopiert werden können.
62
63
h3. 2 - Nachgiebigkeitsmatrix des Verbundes
64
65
Hier wird die Inverse der Steifigkeitsmatrix des Laminats angezeigt. Es kann sein, dass für symmetrische Laminate Terme der inversen Koppelsteifigkeitsmatrix (b) verschieden von null, aber sehr klein sind. Dies resultiert aus numerischen Ungenauigkeiten bei der Rechnung mit doppelter Genauigkeit innerhalb des Programms. Diese Matrix ist in Form einer Tabelle dargestellt, sodass alle Werte herauskopiert werden können.
66
67
h3. 3 - Ingenieurskonstanten des Mehrschichtverbundes
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69 16 Andreas Hauffe
Ebenso automatisch werden die Ingenieurskonstanten des Mehrschichtverbundes nach !cite{Schu2004} für Membran- und Biegebelastung berechnet. Dies erfolgt sowohl mit als auch ohne Betrachtung von Querkontraktionsbehinderung (QKB). Bei unsymmetrischen Laminaten, bei denen eine Kopplung zwischen Membran- und Biegeverformung besteht, haben die so ermittelten Ingenieurkonstanten wenig Sinn und sollten mit Vorsicht gebraucht werden.
70 13 Andreas Hauffe
71
h3. 4 - Ausdehnungskoeffizienten des Mehrschichtverbundes für Wärme und Feuchte
72 1 Andreas Hauffe
73 21 Andreas Hauffe
In diesem Teil des Fensters erfolgt die Ausgabe der Wärmeausdehnungskoeffizienten $\alpha^T_i$ und der Quellungskoeffizienten $\beta^T_i$ des Gesamtverbundes entsprechend des Einheitensystems, welches für die Angabe der Werte der Einzelschicht gewählt wurde. Auch hier gilt die Definition nach !cite{Schu2004} und somit
74
\begin{equation}
75
 \left(
76
  \begin{array}{c}
77
     \epsilon_x \\
78
     \epsilon_y \\
79 22 Andreas Hauffe
     \gamma_{xy}
80 21 Andreas Hauffe
  \end{array}
81
 \right) =
82 22 Andreas Hauffe
 \Delta T
83 21 Andreas Hauffe
 \left(
84
  \begin{array}{c}
85
     \alpha^T_x \\
86
     \alpha^T_y \\
87 22 Andreas Hauffe
     \alpha^T_{xy}
88 21 Andreas Hauffe
  \end{array}
89 23 Andreas Hauffe
 \right) +
90
 \Delta c
91
 \left(
92
  \begin{array}{c}
93
     \beta^T_x \\
94
     \beta^T_y \\
95
     \beta^T_{xy}
96
  \end{array}
97 21 Andreas Hauffe
 \right)
98
\end{equation}
99
100 16 Andreas Hauffe
101 18 Andreas Hauffe
h2. Anmerkungen zu den Ingenieurskonstanten
102
103
Die Ingenieurskonstanten lassen sich für zwei Beanspruchungsarten bestimmten. Zum einen für eine Membranbeanspruchung und zweiten unter einer Biegebeanspruchung. Bei beiden ist dies mit und ohne Querkontraktionsbehinderung möglich.
104
105
Das Vorgehen wird auf Basis der Erläuterungen in !cite{Schu2004} für symmetrische Laminate erklärt. Für den Membranzustand wird aus der ABD-Matrix
106
\begin{equation}
107
 \left(
108
  \begin{array}{c}
109
     n \\
110
     m 
111
  \end{array}
112
 \right) =
113
 \left[
114
  \begin{array}{cc}
115
     A & B \\
116
     B & D 
117
  \end{array}
118
 \right]
119
 \left(
120
  \begin{array}{c}
121
     \epsilon \\
122
     \kappa 
123
  \end{array}
124
 \right)
125
\end{equation}
126
ausschließlich die A-Matrix verwendet, was bei symmetrischen Laminaten zulässig ist ($B = 0$). Damit ergibt sich
127
\begin{equation}
128
 \left(
129
  \begin{array}{c}
130
     n_x \\
131
     n_y \\
132
     n_{xy} 
133
  \end{array}
134
 \right) =
135
 \left[
136
  \begin{array}{ccc}
137
     A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
138
     A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
139
     A_{31} & A_{32} & A_{33}
140
  \end{array}
141
 \right]
142
 \left(
143
  \begin{array}{c}
144
     \epsilon_{x} \\
145
     \epsilon_{y} \\
146
     \gamma_{xy} 
147
  \end{array}
148
 \right)
149
\end{equation}
150
Ziel ist es nun auf eine Gleichung für die Spannung $\sigma_{x}$ zu kommen, die dem einachsigen Elastizitätsgesetz $\sigma = E \epsilon$ entspricht. Dazu wird die Gleichung durch die Gesamtdicke des Laminates geteilt. Dies entspricht einer Homogenisierung des Materials und man erhält:
151
\begin{equation}
152
 \left(
153
  \begin{array}{c}
154
     \sigma_x \\
155
     \sigma_y \\
156
     \tau_{xy} 
157
  \end{array}
158
 \right) = \frac{1}{t_{ges}}
159
 \left[
160
  \begin{array}{ccc}
161
     A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
162
     A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
163
     A_{31} & A_{32} & A_{33}
164
  \end{array}
165
 \right]
166
 \left(
167
  \begin{array}{c}
168
     \epsilon_{x} \\
169
     \epsilon_{y} \\
170
     \gamma_{xy} 
171
  \end{array}
172
 \right) \ .
173
\end{equation}
174
Diese Gleichung entspricht einer einzelnen anisotropen Schicht über die gesamte Dicke. Um nun auf eine Gleichung entsprechend des einachsigen Elastizitätsgesetz zu kommen, gibt es zwei Wege. Zum einen werden $\epsilon_{y}$ und $\gamma_{xy}$ null gesetzt, was einer Querkontraktionsbehinderung entspricht, und man erhält folgende Gleichungen:
175
\begin{equation}
176
 \left(
177
  \begin{array}{c}
178
     \sigma_x \\
179
     \sigma_y \\
180
     \tau_{xy} 
181
  \end{array}
182
 \right) = \frac{1}{t_{ges}}
183
 \left[
184
  \begin{array}{ccc}
185
     A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
186
     A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
187
     A_{31} & A_{32} & A_{33}
188
  \end{array}
189
 \right]
190
 \left(
191
  \begin{array}{c}
192
     \epsilon_{x} \\
193
     0 \\
194
     0 
195
  \end{array}
196
 \right) \ .
197
\end{equation}
198
\begin{equation}
199
 \sigma_x = \frac{A_{11}}{t_{ges}}\epsilon_{x}
200
\end{equation}
201
Um einen E-Modul ohne Querkontraktionsbehinderung zu erhalten, muss die Gleichung umgeformt werden und $\sigma_{y}$ und $\tau_{xy}$ werden null gesetzt.
202
\begin{equation}
203
 \left(
204
  \begin{array}{c}
205
     \epsilon_{x} \\
206
     \epsilon_{y} \\
207
     \gamma_{xy} 
208
  \end{array}
209
 \right)
210
  = t_{ges}
211
 \left[
212
  \begin{array}{ccc}
213
     A_{11} & A_{12} & A_{13} \\
214
     A_{21} & A_{22} & A_{23} \\
215
     A_{31} & A_{32} & A_{33}
216
  \end{array}
217
 \right]^{-1}
218
\left(
219
  \begin{array}{c}
220
     \sigma_x \\
221
     0 \\
222
     0 
223
  \end{array}
224
 \right)
225
 \ .
226
\end{equation}
227
\begin{equation}
228
 \sigma_x = \frac{1}{(A^{-1})_{11} \cdot t_{ges}}\epsilon_{x}
229
\end{equation}
230
Auf diese Weise können nun alle Ingenieurskonstanten bestimmt werden. Die Konstanten ohne Querkontrationsbehinderung ergeben sich zu:
231
\begin{eqnarray}
232
 E_x      & = & \frac{1}{(A^{-1})_{11} \cdot t_{ges}} \\
233
 E_y      & = & \frac{1}{(A^{-1})_{22} \cdot t_{ges}} \\
234
 G_{xy}   & = & \frac{1}{(A^{-1})_{66} \cdot t_{ges}} \\
235
 \nu_{xy} & = & -\frac{(A^{-1})_{12}}{(A^{-1})_{11}} \\
236
 \nu_{yx} & = & -\frac{(A^{-1})_{12}}{(A^{-1})_{22}}
237
\end{eqnarray}
238
Die Konstanten mit Querkontrationsbehinderung ergeben sich zu:
239
\begin{eqnarray}
240
 E_x      & = & \frac{A_{11}}{t_{ges}} \\
241
 E_y      & = & \frac{A_{22}}{t_{ges}} \\
242
 G_{xy}   & = & \frac{A_{66}}{t_{ges}} \\
243
\end{eqnarray}
244
245
Bei Berücksichtung einer Querkontraktionsbehinderung sind Querkontraktionszahlen nicht sinnvoll und werden aus diesem Grund nicht mit angegeben.
246
247
Diese homogenisierten Materialparameter sind nur für Membranlasten zulässig. Für Biegung ist ein äquivalentes Vorgehen unter Verwendung der D-Matrix notwendig, da bei Biegebeanspruchungen im Gegensatz zu Membranbeanspruchungen die Lagenposition großen Einfluss hat. Die Herleitung der Berechnungsvorschrift ist !cite{Schu2004} entnommen.
248
249
Für Biegung verwendet man die Analogie zum Balken. Da die Laminatplatte einen Rechteckquerschnitt hat, wird mit dem Biegeelastizitätsgesetz eines Rechteckbalkens verglichen und es gilt:
250
\begin{equation}
251
 M = -EI \cdot w'' = - E \frac{b t^3}{12} \cdot w'' \rightarrow m = -E \frac{t^3}{12} \cdot w'' \ .
252
\end{equation}
253
254
Zudem gilt $w'' = -\kappa$.
255
256
Für die Laminatplatte werden Biegebeanspruchungen mit der D-Matrix beschrieben.
257
\begin{equation}
258
 \left(
259
  \begin{array}{c}
260
     m_x \\
261
     m_y \\
262
     m_{xy} 
263
  \end{array}
264
 \right) =
265
 \left[
266
  \begin{array}{ccc}
267
     D_{11} & D_{12} & D_{13} \\
268
     D_{21} & D_{22} & D_{23} \\
269
     D_{31} & D_{32} & D_{33}
270
  \end{array}
271
 \right]
272
 \left(
273
  \begin{array}{c}
274
     \kappa_{x} \\
275
     \kappa_{y} \\
276
     \kappa_{xy} 
277
  \end{array}
278
 \right)
279
\end{equation}
280
Nun ist das Vorgehen äquivalent zur Membranbeanspruchung. Unter Voraussetzung einer Querkontraktionsbehinderung (in diesem Fall einer Querkrümmungsbehinderung) ergibt sich:
281
\begin{equation}
282
 \left(
283
  \begin{array}{c}
284
     m_x \\
285
     m_y \\
286
     m_{xy} 
287
  \end{array}
288
 \right) =
289
 \left[
290
  \begin{array}{ccc}
291
     D_{11} & D_{12} & D_{13} \\
292
     D_{21} & D_{22} & D_{23} \\
293
     D_{31} & D_{32} & D_{33}
294
  \end{array}
295
 \right]
296
 \left(
297
  \begin{array}{c}
298
     \kappa_{x} \\
299
     0 \\
300
     0 
301
  \end{array}
302
 \right)
303
\end{equation}
304
\begin{equation}
305
 m_x = D_{11} \kappa_x
306
\end{equation}
307
\begin{equation}
308
 E_{x,b} = \frac{12}{t_{ges}^3}D_{11}
309
\end{equation}
310
311
Somit ergeben sich alle Ingenieurskonstanten mit Querkontaktionsbehinderung zu:
312
\begin{eqnarray}
313
 E_{x,b} & = & \frac{12}{t_{ges}^3}D_{11} \\
314
 E_{y,b} & = & \frac{12}{t_{ges}^3}D_{22} \\
315
 G_{x,b} & = & \frac{12}{t_{ges}^3}D_{66} \\
316
\end{eqnarray}
317
und ohne Querkontraktionsbehinderung zu:
318
\begin{eqnarray}
319
 E_{x,b} & = & \frac{12}{(D^{-1})_{11} \cdot t_{ges}^3} \\
320
 E_{y,b} & = & \frac{12}{(D^{-1})_{22} \cdot t_{ges}^3} \\
321
 G_{x,b} & = & \frac{12}{(D^{-1})_{66} \cdot t_{ges}^3} \\
322
\end{eqnarray}
323
324
Auch an dieser Stelle sind Querkontraktionszahlen wenig sinnvoll, da diese eher Querkrümmzahlen entsprechen.
325
326
Dieses Vorgehen gilt generell nur für symmetrische Laminate. Im Falle unsymmetrischer Laminate muss die Inverse der gesamten ABD-Matrix gebildet und dann die entsprechenden Terme verwendet werden.
327
328 16 Andreas Hauffe
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