expandable Laminate eXplorer - eLamX

h1. Modul Berechnung

h2. Allgemein

Das Modul Berechnung dient zur Kalkulation von Schnittlasten beziehungsweise Dehnungen, sowie Spannungen innerhalb des festgelegten Faserverbundlaminats nach der klassischen Laminattheorie (!cite{Redd2003}, !cite{Schu2004}). Um die Auswirkungen des Laminataufbaus auf die Besetzung der Steifigkeitsmatrix des Verbundes, die Schnittlasten beziehungsweise Dehnungen und die Beanspruchungen der Schichten direkt betrachten zu können, erfolgt die Aktualisierung der Berechnungen automatisch. Unter anderem können dabei auch hygrothermale Effekte berücksichtigt werden !cite{Barth2009}.

Während einer Berechnung wird das weiter unten aufgeführte lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß’schen Eliminationsverfahrens gelöst. Die berechneten Unbekannten werden in die Felder der Schnittlasten und Verzerrungen eingetragen. Zudem werden die Spannungen und Dehnungen in jeder Laminatschicht berechnet. Diese können im Unterfenster Schichtgrößen im lokalen Faserkoordinatensystem betrachtet werden.

h2. Aufbau

p=. {{thumbnail(berechnung.jpg, size=500, title=Berechnungsfenster)}}

h3. 1 - ABD-Matrix

Auf Basis der Steifigkeitsmatrizen der Einzelschichten werden auf Grundlage der klassischen Laminattheorie die Membransteifigkeitsmatrix $\mathbf{A}$, Koppelsteifigkeitsmatrix $\mathbf{B}$ und Biegesteifigkeitsmatrix $\mathbf{D}$ des Verbundes bei Aufruf des Moduls Berechnung automatisch berechnet und farblich getrennt innerhalb der ABD-Matrix dargestellt.

h3. 2 - Schnittlasten, Verzerrungen und hygrothermale Belastungen

Als Belastungen auf den definierten Verbund können sowohl Membranschnittlasten und -momente, als auch Dehnungen und Krümmungen vorgegeben werden. Dabei kann pro Koordinatenrichtung jeweils entweder die Angabe der Belastung oder der Verzerrung in den Eingabefeldern unter 2a und 2b erfolgen. Zusätzlich können eine Temperaturdifferenz und die prozentuale Veränderung der relativen Feuchte in den Feldern in Fensterausschnitt 2c angegeben werden. Nach der klassischen Laminattheorie gilt für mechanische und hygrothermale Belastungen und Verzerrungen

$$\begin{pmatrix}\underline{n}\\ \underline{m}\end{pmatrix}_{mech} = \begin{bmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{B}\\ \mathbf{B} & \mathbf{D}\end{bmatrix} \begin{pmatrix}\underline{\varepsilon}\\ \underline{\kappa}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\underline{n}\\ \underline{m}\end{pmatrix}_{hygrotherm}$$

Sollen keine Effekte der hygrothermalen Belastungen betrachtet werden, so sind die Felder der Temperaturdifferenz und des prozentualen Feuchteunterschieds mit den Werten Null zu füllen. Diese Betrachtung ist die Standardeinstellung im Modul Berechnung von eLamX².

h3. 3 - hygrothermale Schnittlasten

An dieser Stelle erfolgt die Ausgabe der entstehenden hygrothermalen Schnittlasten aufgrund der vorgegebenen Temperaturdifferenz und des prozentualen Feuchteunterschieds auf das Gesamtlaminat. Sie sind keine Eingabedaten. Die Anwahl der Auswahlkästchen für mechanische Belastungen und die resultierenden Verzerrungen hat keinen Einfluss auf die hygrothermalen Schnittlasten. Sie ergeben sich aus den richtungsabhängigen Wärmeleit- und Quellungskoeffizienten der Einzelschichten sowie deren Steifigkeitsmatrizen und dem vorgegebenen Temperatur- und Feuchteunterschied.

h3. 4 - Button Spannungs- und Dehnungsverteilung

Über diesen Button können die Spannungs- und die Dehnungsverteilung innerhalb des Laminats in lokalen und globalen Koordinaten für die Koordinatenachsen der Laminatebene dargestellt werden. Die Ausgabe erfolgt lediglich qualitativ. Die angegebenen Koordinatenrichtungen beziehen sich auf die Faserwinkel, wobei der angegebene x-Wert die Größe in 0°-Richtung und der y-Wert die Größe in 90°-Richtung des Laminats widerspiegeln. Die Faserorientierungen der einzelnen Lagen sind durch die abgebildete Schraffur dargestellt. Horizontale Linien entsprechen dabei null Grad und vertikale Linien 90 Grad Faserwinkel. Liegen die Faserwinkel benachbarter Schichten sehr nah beieinander, erfolgt die Ausgabe der Schraffur in unterschiedlichen Farben.

p=. {{thumbnail(spannungsverteilung.png, size=500, title=Aufruf 3D-Versagenskörper der Einzelschicht)}}

h3. 5 - Button Löschen

Die Betätigung des Buttons löscht die vorgegeben Lasten und die berechneten unbekannten Schnittlasten und Verzerrungen, sowie die berechnete Spannungsverteilung.

h3. 6 - Darstellung der Dehnungen und Krümmungen anhand einer quadratischen Platte

Mit diesem Button kann ein Fenster geöffnet werden, in dem die berechneten Dehnungen und Krümmungen an einer quadratischen Platte visualisiert werden. Dies dient dem besseren Verständnis gerade der Koppeleffekte innerhalb der ABD-Matrix.

p=. {{thumbnail(darstellung_eps_kappa.png, size=500, title=Aufruf 3D-Versagenskörper der Einzelschicht)}}

h3. 7 - Schichtgrößen im lokalen Faserkoordinatensystem

Nach einer Berechnung werden in diesem Teil des Fensters je nach Auswahl die Spannungen oder Dehnungen jeder Schicht des Verbundes berechnet. Die Auswertung erfolgt dabei jeweils an der Ober- und Unterseite der einzelnen Lage. Die Spannungen in jeder Schicht werden mit deren Festigkeiten verglichen und mittels des gewählten Versagenskriteriums ein Reservefaktor an Ober- und Unterseite der Schicht errechnet. Zusätzlich erfolgt die Angabe der zu erwartenden Versagensart hinsichtlich des gewählten Versagenskriteriums einer jeden Schicht.

p=. {{thumbnail(aufruf_3d-versagenskoerper_einzelschicht.png, size=500, title=Aufruf 3D-Versagenskörper der Einzelschicht)}}

Neben der Darstellung der Versagenskriterien über die Reservefaktoren lässt mit einem Rechtsklick auf eine Lage zusätzlich das Modul Versagenskriterien aufrufen und der Versagenskörper der einzelnen Schicht zusammen mit dem Spannungszustand im Spannungsraum darstellen (siehe Abbildung). Darin wird die aktuelle Beanspruchung der Verbundschicht als roter Punkt eingetragen. Liegt der berechnete Spannungsvektor innerhalb der ausgewählten Versagenskörper ist nur dessen Linie sichtbar. Damit wird sichtbar gemacht, welche Spannungskombination in jeder Schicht herrscht.

h2. Laminatinformationen/Ingenieurskonstanten

p=. {{thumbnail(laminatinformationen.png, size=500, title=Aufruf 3D-Versagenskörper der Einzelschicht)}}

Diese Fenster kann durch einen Rechtsklick auf ein Laminat und anschließende Auswahl von Ingenieurskonstanten geöffnet werden.

h3. 1 - ABD-Matrix

Auf Basis der Steifigkeitsmatrizen der Einzelschichten werden auf Grundlage der klassischen Laminattheorie die Membransteifigkeitsmatrix $\mathbf{A}$, Koppelsteifigkeitsmatrix $\mathbf{B}$ und Biegesteifigkeitsmatrix $\mathbf{D}$ des Verbundes bei Aufruf des Moduls Berechnung automatisch berechnet und farblich getrennt innerhalb der ABD-Matrix dargestellt. Diese Matrix ist in Form einer Tabelle dargestellt, sodass alle Werte herauskopiert werden können.

h3. 2 - Nachgiebigkeitsmatrix des Verbundes

Hier wird die Inverse der Steifigkeitsmatrix des Laminats angezeigt. Es kann sein, dass für symmetrische Laminate Terme der inversen Koppelsteifigkeitsmatrix (b) verschieden von null, aber sehr klein sind. Dies resultiert aus numerischen Ungenauigkeiten bei der Rechnung mit doppelter Genauigkeit innerhalb des Programms. Diese Matrix ist in Form einer Tabelle dargestellt, sodass alle Werte herauskopiert werden können.

h3. 3 - Ingenieurskonstanten des Mehrschichtverbundes

Ebenso automatisch werden die Ingenieurskonstanten des Mehrschichtverbundes nach !cite{Schu2004} für Membran- und Biegebelastung berechnet. Dies erfolgt sowohl mit als auch ohne Betrachtung von Querkontraktionsbehinderung (QKB). Bei unsymmetrischen Laminaten, bei denen eine Kopplung zwischen Membran- und Biegeverformung besteht, haben die so ermittelten Ingenieurkonstanten wenig Sinn und sollten mit Vorsicht gebraucht werden.

h3. 4 - Ausdehnungskoeffizienten des Mehrschichtverbundes für Wärme und Feuchte

In diesem Teil des Fensters erfolgt die Ausgabe der Wärmeausdehnungskoeffizienten $\alpha^T_i$ und der Quellungskoeffizienten $\beta^T_i$ des Gesamtverbundes entsprechend des Einheitensystems, welches für die Angabe der Werte der Einzelschicht gewählt wurde.

h2. Anmerkungen zu den Ingenieurskonstanten

Die Ingenieurskonstanten lassen sich für zwei Beanspruchungsarten bestimmten. Zum einen für eine Membranbeanspruchung und zweiten unter einer Biegebeanspruchung. Bei beiden ist dies mit und ohne Querkontraktionsbehinderung möglich.

Das Vorgehen wird auf Basis der Erläuterungen in !cite{Schu2004} für symmetrische Laminate erklärt. Für den Membranzustand wird aus der ABD-Matrix

\begin{equation}

 \left(

  \begin{array}{c}

     n \\

     m 

  \end{array}

 \right) =

 \left[

  \begin{array}{cc}

     A & B \\

     B & D 

  \end{array}

 \right]

 \left(

  \begin{array}{c}

     \epsilon \\

     \kappa 

  \end{array}

 \right)

\end{equation}

ausschließlich die A-Matrix verwendet, was bei symmetrischen Laminaten zulässig ist ($B = 0$). Damit ergibt sich

\begin{equation}

 \left(

  \begin{array}{c}

     n_x \\

     n_y \\

     n_{xy} 

  \end{array}

 \right) =

 \left[

  \begin{array}{ccc}

     A_{11} & A_{12} & A_{13} \\

     A_{21} & A_{22} & A_{23} \\

     A_{31} & A_{32} & A_{33}

  \end{array}

 \right]

 \left(

  \begin{array}{c}

     \epsilon_{x} \\

     \epsilon_{y} \\

     \gamma_{xy} 

  \end{array}

 \right)

\end{equation}

Ziel ist es nun auf eine Gleichung für die Spannung $\sigma_{x}$ zu kommen, die dem einachsigen Elastizitätsgesetz $\sigma = E \epsilon$ entspricht. Dazu wird die Gleichung durch die Gesamtdicke des Laminates geteilt. Dies entspricht einer Homogenisierung des Materials und man erhält:

\begin{equation}

 \left(

  \begin{array}{c}

     \sigma_x \\

     \sigma_y \\

     \tau_{xy} 

  \end{array}

 \right) = \frac{1}{t_{ges}}

 \left[

  \begin{array}{ccc}

     A_{11} & A_{12} & A_{13} \\

     A_{21} & A_{22} & A_{23} \\

     A_{31} & A_{32} & A_{33}

  \end{array}

 \right]

 \left(

  \begin{array}{c}

     \epsilon_{x} \\

     \epsilon_{y} \\

     \gamma_{xy} 

  \end{array}

 \right) \ .

\end{equation}

Diese Gleichung entspricht einer einzelnen anisotropen Schicht über die gesamte Dicke. Um nun auf eine Gleichung entsprechend des einachsigen Elastizitätsgesetz zu kommen, gibt es zwei Wege. Zum einen werden $\epsilon_{y}$ und $\gamma_{xy}$ null gesetzt, was einer Querkontraktionsbehinderung entspricht, und man erhält folgende Gleichungen:

\begin{equation}

 \left(

  \begin{array}{c}

     \sigma_x \\

     \sigma_y \\

     \tau_{xy} 

  \end{array}

 \right) = \frac{1}{t_{ges}}

 \left[

  \begin{array}{ccc}

     A_{11} & A_{12} & A_{13} \\

     A_{21} & A_{22} & A_{23} \\

     A_{31} & A_{32} & A_{33}

  \end{array}

 \right]

 \left(

  \begin{array}{c}

     \epsilon_{x} \\

     0 \\

     0 

  \end{array}

 \right) \ .

\end{equation}

\begin{equation}

 \sigma_x = \frac{A_{11}}{t_{ges}}\epsilon_{x}

\end{equation}

Um einen E-Modul ohne Querkontraktionsbehinderung zu erhalten, muss die Gleichung umgeformt werden und $\sigma_{y}$ und $\tau_{xy}$ werden null gesetzt.

\begin{equation}

 \left(

  \begin{array}{c}

     \epsilon_{x} \\

     \epsilon_{y} \\

     \gamma_{xy} 

  \end{array}

 \right)

  = t_{ges}

 \left[

  \begin{array}{ccc}

     A_{11} & A_{12} & A_{13} \\

     A_{21} & A_{22} & A_{23} \\

     A_{31} & A_{32} & A_{33}

  \end{array}

 \right]^{-1}

\left(

  \begin{array}{c}

     \sigma_x \\

     0 \\

     0 

  \end{array}

 \right)

 \ .

\end{equation}

\begin{equation}

 \sigma_x = \frac{1}{(A^{-1})_{11} \cdot t_{ges}}\epsilon_{x}

\end{equation}

Auf diese Weise können nun alle Ingenieurskonstanten bestimmt werden. Die Konstanten ohne Querkontrationsbehinderung ergeben sich zu:

\begin{eqnarray}

 E_x      & = & \frac{1}{(A^{-1})_{11} \cdot t_{ges}} \\

 E_y      & = & \frac{1}{(A^{-1})_{22} \cdot t_{ges}} \\

 G_{xy}   & = & \frac{1}{(A^{-1})_{66} \cdot t_{ges}} \\

 \nu_{xy} & = & -\frac{(A^{-1})_{12}}{(A^{-1})_{11}} \\

 \nu_{yx} & = & -\frac{(A^{-1})_{12}}{(A^{-1})_{22}}

\end{eqnarray}

Die Konstanten mit Querkontrationsbehinderung ergeben sich zu:

\begin{eqnarray}

 E_x      & = & \frac{A_{11}}{t_{ges}} \\

 E_y      & = & \frac{A_{22}}{t_{ges}} \\

 G_{xy}   & = & \frac{A_{66}}{t_{ges}} \\

\end{eqnarray}

Bei Berücksichtung einer Querkontraktionsbehinderung sind Querkontraktionszahlen nicht sinnvoll und werden aus diesem Grund nicht mit angegeben.

Diese homogenisierten Materialparameter sind nur für Membranlasten zulässig. Für Biegung ist ein äquivalentes Vorgehen unter Verwendung der D-Matrix notwendig, da bei Biegebeanspruchungen im Gegensatz zu Membranbeanspruchungen die Lagenposition großen Einfluss hat. Die Herleitung der Berechnungsvorschrift ist !cite{Schu2004} entnommen.

Für Biegung verwendet man die Analogie zum Balken. Da die Laminatplatte einen Rechteckquerschnitt hat, wird mit dem Biegeelastizitätsgesetz eines Rechteckbalkens verglichen und es gilt:

\begin{equation}

 M = -EI \cdot w'' = - E \frac{b t^3}{12} \cdot w'' \rightarrow m = -E \frac{t^3}{12} \cdot w'' \ .

\end{equation}

Zudem gilt $w'' = -\kappa$.

Für die Laminatplatte werden Biegebeanspruchungen mit der D-Matrix beschrieben.

\begin{equation}

 \left(

  \begin{array}{c}

     m_x \\

     m_y \\

     m_{xy} 

  \end{array}

 \right) =

 \left[

  \begin{array}{ccc}

     D_{11} & D_{12} & D_{13} \\

     D_{21} & D_{22} & D_{23} \\

     D_{31} & D_{32} & D_{33}

  \end{array}

 \right]

 \left(

  \begin{array}{c}

     \kappa_{x} \\

     \kappa_{y} \\

     \kappa_{xy} 

  \end{array}

 \right)

\end{equation}

Nun ist das Vorgehen äquivalent zur Membranbeanspruchung. Unter Voraussetzung einer Querkontraktionsbehinderung (in diesem Fall einer Querkrümmungsbehinderung) ergibt sich:

\begin{equation}

 \left(

  \begin{array}{c}

     m_x \\

     m_y \\

     m_{xy} 

  \end{array}

 \right) =

 \left[

  \begin{array}{ccc}

     D_{11} & D_{12} & D_{13} \\

     D_{21} & D_{22} & D_{23} \\

     D_{31} & D_{32} & D_{33}

  \end{array}

 \right]

 \left(

  \begin{array}{c}

     \kappa_{x} \\

     0 \\

     0 

  \end{array}

 \right)

\end{equation}

\begin{equation}

 m_x = D_{11} \kappa_x

\end{equation}

\begin{equation}

 E_{x,b} = \frac{12}{t_{ges}^3}D_{11}

\end{equation}

Somit ergeben sich alle Ingenieurskonstanten mit Querkontaktionsbehinderung zu:

\begin{eqnarray}

 E_{x,b} & = & \frac{12}{t_{ges}^3}D_{11} \\

 E_{y,b} & = & \frac{12}{t_{ges}^3}D_{22} \\

 G_{x,b} & = & \frac{12}{t_{ges}^3}D_{66} \\

\end{eqnarray}

und ohne Querkontraktionsbehinderung zu:

\begin{eqnarray}

 E_{x,b} & = & \frac{12}{(D^{-1})_{11} \cdot t_{ges}^3} \\

 E_{y,b} & = & \frac{12}{(D^{-1})_{22} \cdot t_{ges}^3} \\

 G_{x,b} & = & \frac{12}{(D^{-1})_{66} \cdot t_{ges}^3} \\

\end{eqnarray}

Auch an dieser Stelle sind Querkontraktionszahlen wenig sinnvoll, da diese eher Querkrümmzahlen entsprechen.

Dieses Vorgehen gilt generell nur für symmetrische Laminate. Im Falle unsymmetrischer Laminate muss die Inverse der gesamten ABD-Matrix gebildet und dann die entsprechenden Terme verwendet werden.

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